Как правильно делать развертку в черчении. Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии. Построение разверток призматических

Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.

Варианты построения развертки:

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.

В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
2. Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.

Пример

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.

Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .

Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).

Алгоритм

1. Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
2. Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5.
3. Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

Перенос линии с поверхности конуса на развертку

Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.

Алгоритм

1. Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
2. Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
3. Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
4. Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.

Развертка усеченного конуса

Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.

МАОУ ООШ с. Комсомольское

Тема урока:

Подготовила: Бактыгалиева Н.Р.

ТЕМА УРОКА : Чертежи и развертки геометрических тел.

ЦЕЛИ УРОКА :

Образовательная: закрепить понятиегеометрические тела; читать и строить их чертежи геометрических тел;

Развивающая: развивать пространственное видение предмета, умение вычерчивать развёртку и склеивать фигуру.

Воспитывающая: воспитывать аккуратность при выполнении графической и практической работ, усидчивость, терпимость.

Оборудование:

а) для учителя: презентация «проекции группы геометрических тел», учебник.

б) для учащихся: тетрадь, учебник, чертёжные принадлежности.

ТИП УРОКА: урок изучения нового материала

ОБОРУДОВАНИЕ:

а) для учителя: презентация «Чертежи и развертки геометрических тел», учебник.

б) для учащихся: тетрадь, учебник, чертёжные принадлежности, ножницы, клей.

МЕТОДЫ ПРОВЕДЕНИЯ: беседа, выполнение чертежей геометрических тел и разверток, моделирование.

ЛИТЕРАТУРА: « Черчение» Ботвинников А.Д.,Виноградов В.Н., Вышнепольский И.С.

ХОД УРОКА

1.Организационная часть (1 мин)

Очень правильно, очень мудро,

Да не будет помехой лень,

Утром говорить всем: «Доброе … (утро)»,

Ну, а днем говорить: «Добрый… (день)».

2. Сообщение темы, целей урока (1 мин)

Сегодня мы продолжим работу с геометрическими телами, тема сегодняшнего урока: «Чертежи и развертки геометрических тел» ». Мы должны вспомнить основные геометрические тела, узнать, как строятся их развертки.

3. Повторение изученного ранее (3 мин)

Давайте вспомним геометрические тела, которые вы изучали на прошлом уроке.

Учитель показывает чертежи геометрических тел и задает вопросы?

1.Как называется геометрическое тело? (цилиндр, куб, призма, конус, призма, усеченный конус.

2. Я называю тела, а вы приводите примеры предметов:

4. Изучение нового материала (10 мин)

На уроке мы должны научиться самостоятельно, выполнять развёртку некоторых геометрических тел.

С развёртками поверхностей мы часто встречаемся в обыденной жизни, на производстве, в строительстве. Чтобы изготовить упаковку для сока, чая, конфет, духов, праздничную коробочку или кулёк надо уметь строить развёртки поверхностей геометрических тел.

Рассмотрите развёртки упаковок и скажите, из каких геометрических фигур они состоят?

Ребята отвечают.

Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью.

При построении развертки надо знать сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел

Рассмотрим развертку конуса. Она состоит из боковой поверхности – сектор R + образующей конуса, угол α подсчитывается по формуле α =360º*d /2R

Рассмотрим развертку цилиндра. Она состоит из трех частей – боковой поверхности и верхнего и нижнего оснований. Боковая поверхность – прямоугольник с размерами высоты и длины, которая высчитывается по формуле С=πd . Нижнее и верхнее основания – окружности с размерами диаметра d .

Для построения развертки куба достаточно знать размер ребра куба.

Слайд 10-11

Для того чтобы выполнить развёртку, давайте определим из каких фигур состоит пирамида.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Для построения треугольника необходимо знать величины его сторон. Равные ребра пирамиды служат боковыми сторонами граней (треугольниками).

Слайд 12-13

Возьмём правильную прямую шестиугольную призму. Все боковые грани призмы – прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы – правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т.е. 6а . Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н , и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а ) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а . Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Слайд 14-15

Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.

На остальных слайдах вы видите развертки разных геометрических тел.

Слайд 17-19

5.Практическая работа. (20 мин)

Сейчас вам предстоит выполнить развертки различных геометрических тел. У каждого обучающегося к концу урока должна быть – готовая развертка куба, призмы, конуса. На ваших столах лежат схемы выполнения разверток и размеры геометрических тел. Приступайте к работе.

6. Подведение итогов (2 мин)

Что нового узнали на уроке?

С чем познакомились?

Где применяются?

Чему научились?

7. Рефлексия (1 мин)

Понравился вам урок?

Довольны вы своей работой на уроке?

Домашнее задание.

1. Доделать развертку, кто не успел, начертить развертку шестиугольной призмы в тетради по размерам.

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа с. Комсомольское»

Открытый урок по черчению

Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.

Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций (проецированием на дополнительную плоскость), приведенными в предыдущем параграфе.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестиугольная призма (рис. 176, а). Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 176, б). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 173, в) истинную длину наклонного ребра SA, равную s"a` 1 (рис. 176, б), из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s"a` 1 . На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 176, в). Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом Rh равным образующей конуса sfd, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора, равна приблизительно

Как правило, детали, выполненные способом вырубки, штамповки, отрезки по длине из стандартного проката или любого листового материала, требуют одного изображения. Толщину указывают согласно ГОСТ 2.307 68.

На рис. 50 толщина детали равна 2 мм и обозначена на полке линии-выноски.

Обратитевнимание!

1. При наличии в детали ряда одинаковых отверстий, расположенных вдоль оси (рис. 50), проставляются шаг и размер между крайними элементами в виде произведения.

2. Габаритные размеры являются справочными, поскольку определяются суммой проставленных в первую очередь необходимых размеров.

3. Размер по толщине также является справочным, так как приводится в графе №3 при указании материала данной детали.

4. Для детали, изображённой на рис. 51, базовыми линиями являются оси симметрии. Межцентровые размеры для 4 отв. 12 проставляются точно так же на всех сопрягаемых деталях для обеспечения сборки.

3.2. Чертежи деталей из листового материала, получаемых гибкой (детали типа "Скоба")

Правила выполнения чертежей деталей, изготовляемых гибкой, установлены ГОСТ 2.109-73 .

Когда изображение детали не даёт представления о действительной форме и размерах отдельных её элементов, на чертеже детали помещают частичную или полную её развёртку. На изображении развёртки наносят только те размеры, которые невозможно указать на изображении готовой детали. Над изображением развёртки или перед габаритным размером помещают знак (допускается над изображением надпись "Развёртка").

Контуры развёрнутого изображения выполняют сплошной основной линией, а места сгиба изображают тонкой штрихпунктирной линией с двумя точками (рис. 54).

Допускается совмещать изображение части развёртки с видом детали. В этом случае развёртку изображают тонкой штрихпунктирной линией с двумя точками, а обозначения изображения не требуется (рис. 52).

Длина развёртки детали подсчитывается по средней линии. Так, например, для детали, показанной на рис. 52, развёртка определится по формуле:

L = L 1 + 2  Rср./4 + 2  R  cр./4 + L 2

Обратите внимание!

1.Нанесение размеров к отверстиям с раззенковкой может быть выполнено двояким образом. На рис. 54 приведён конструктивный вариант простановки размеров. Диаметр конического отверстия (14) обусловлен диаметром головки винта. Другой вариант (рис. 53), когда проставляется глубина раззенковки, обусловленная подачей сверла или зенкера, называется технологическим.

2.Знак шероховатости " ",проставленный к толщине листа с обеих сторон, требует указания сортамента материала в графе "Материал" основной надписи (рис. 54).

3.Простановка размеров должна обеспечить построение контура детали и подсчёт размеров развёртки.

Если даётся чертёж плоской заготовки-развёртки с указанием всех размеров, необходимых для её построения, то на чертеже детали следует проставлять только размеры, полученные в результате гибки, не повторяя размеров, указанных на чертеже развёртки.

Если конструктор не даёт чертежа развёртки, то на чертеже изогнутой детали необходимо проставлять внутренние размеры.

3.3. Чертежи деталей, получаемых из сортового материала механической обработкой

3.3.1. Чертёж детали типа "Втулка"

Как правило, такие детали требуют одного изображения. Ось детали на главном изображении располагают горизонтально.

Возьмите карандаш и проведите на гранях куба (рис. 1) кратчайший путь из точки А в точку В .

Рис. 1. Куб

Казалось бы, надо провести линию в переднюю вершину куба, а затем вниз по ребру. Но этот путь, увы, не кратчайший.

Развернём грани куба в одну плоскость, отметим точки А и В и соединим их прямыми, как показано на рисунке 2.

Рис. 2.

Кратчайший путь, как видим, проходит через середины ребер куба, а не через его вершины. Этот путь обозначен на рисунке 3, сплошными тонкими линиями.

Рис. 3

Плоская фигура, полученная нами на рисунке 2, называется разверткой куба .

Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Рис. 4

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Оформление чертежа развёртки

От линий сгиба на развёртке, которые проводят штрихпунктирной линией с двумя точками , проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба». Над изображением развёртки выносят специальный знак, размеры которого изображены на рисунке 5.

Рис.5. Обозначение развёртки

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при последовательным совмещением всех граней поверхности (многогранника) с плоскостью чертежа в последовательности их расположения на многограннике.

При построении развертки надо найти сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.

Призма

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований.

Для построения развертки прямой призмы - параллелепипеда , достаточно знать три размера: длину, ширину и высоту призмы (рис. 6).

Рис. 6. Развертка поверхности параллелепипеда

Возьмём правильную прямую шестиугольную призму (рис. 7). Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н ; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а .

Рис. 7. Развертка поверхности прямой шестиугольной призмы

Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а . Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н , и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а ) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а . Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Пирамида

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера представлены развёртки правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8) и правильной пятиугольной пирамиды (рис. 9).

Рис. 8. Развертка поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA . Определив способом вращения (см. рис. 8) истинную длину наклонного ребра SA , равную s"a" 1 , из произвольной точки О , как из центра, проводят дугу радиусом s"a" 1 . На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О . Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Рис. 9. Развертка поверхности правильной пятиугольной пирамиды

Конус

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 10).

Рис. 10. Развертка поверхности прямого кругового конуса

Построение конуса выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом R 1 равным образующей конуса s"a" , очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая , подсчитанная по теореме Пифагора (a 2 +b 2 =c 2), равна приблизительно 38 мм (L=√15 2 +35 2 =√1450≈ 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле:

где R - радиус окружности основания конуса (15 мм); L - длина образующей боковой поверхности конуса (38 мм).

В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.

Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S . К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.

Цилиндр

Общеизвестно также, что развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая - развернутой длине окружности основания 2πR (рис. 11).

Рис. 11. Развертка поверхности прямого цилиндра

Шар

В школе на уроках географии вы пользуетесь географическими картами. На картах мира (рис. 12, а) земной шар изображается в виде кругов — восточного и западного полушария.

Но разве развертка шара - круг или, точнее, два круга?

Попытаемся развернуть и совместить с плоскостью шаровую поверхность. Сделать это без складок и разрывов не удастся. Многие геометрические фигуры легко развертываются в плоскость, а шар - нет.

Если поверхность глобуса разрезать вдоль меридианов на маленькие дольки (сегменты) и выпрямить их, то в каждой из этих выпрямленных долек мы можем не заметить никаких видимых искажений. Но развертку мы получим с разрывом (рис. 12, б).

Рис. 12. Географическая карта

Именно такие «дольки» нарезают по контуру и наклеивают одну возле другой на поверхность школьного глобуса. Присмотритесь к глобусу, и вы убедитесь, что это так.

Чтобы получить карту без разрыва, приходится допускать некоторые неточности, которые сводятся к искажению направлений, расстояний и площадей, неодинаковых в разных частях карты.

Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке 13: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.

Рис. 13. Развёртки геометрических тел