Декор 

Основные понятия и определения теории бифуркаций. Элементы теории бифуркаций Развитие систем содержащих периоды бифуркаций

Эта публикация цитируется в (всего в 63 статьях)

Теория бифуркаций

Аннотация: Теория бифуркаций фазовых портретов дифференциальных уравнений вблизи положений равновесия и предельных циклов изложена в первых двух главах, Изложение начинается с основных понятий и фактов и заканчивается новыми результатами о бифуркациях в типичных однопараметрических семействах, происходящие на границе множества систем Морса-Смейла. Релаксационные колебания изучены с точки зрения теории особенностей и теории нормальных форм; включены результаты о затягивании потери устойчивости и решениях-утках.
Библ. 206.

Полный текст: PDF файл (31704 kB)

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.925 +517.928

Образец цитирования: В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, “Теория бифуркаций”, Динамические системы - 5 , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5 , ВИНИТИ, М., 1986, 5-218

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ArnAfrIly86}
\by В.~И.~Арнольд, В.~С.~Афраймович, Ю.~С.~Ильяшенко, Л.~П.~Шильников
\paper Теория бифуркаций
\inbook Динамические системы~--~5
\serial Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления
\yr 1986
\vol 5
\pages 5--218
\publ ВИНИТИ
\publaddr М.
\mathnet{http://mi.сайт/intf40}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0797.58003}

Образцы ссылок на эту страницу:

  • http://mi.сайт/intf40
  • http://mi.сайт/rus/intf/v5/p5
    ОТПРАВИТЬ:

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

    1. Г. Р. Белицкий, “Гладкая эквивалентность ростков векторных полей с одним нулевым или парой чисто мнимых собственных значений”, Функц. анализ и его прил. , 20 :4 (1986), 1-8 ; G. R. Belitskii, “Smooth equivalence of germs of vector fields with a single zero eigenvalue or a pair of purely imaginary eigenvalues”, Funct. Anal. Appl. , 20 :4 (1986), 253-259
    2. М. А. Шерешевский, “О хаусдорфовой размерности фрактальных базисных множеств, возникающих при некоторых глобальных бифуркациях потоков на трехмерных многообразиях”, УМН , 43 :3(261) (1988), 199-200 ; M. A. Shereshevskii, “On the Hausdorff dimension of fractal basis sets arising in certain global bifurcations of flows on three-dimensional manifolds”, Russian Math. Surveys , 43 :3 (1988), 223-224
    3. А. В. Бабин, М. И. Вишик, “Спектральное и стабилизированное асимптотиче­ское поведение решений нелинейных эволюционных уравнений”, УМН , 43 :5(263) (1988), 99-132 ; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Spectral and stabilized asymptotic behaviour of solutions of non-linear evolution equations”, Russian Math. Surveys , 43 :5 (1988), 121-164
    4. Б. А. Хесин, “Версальные деформации пересечений инвариантных подмногообразий динамических систем”, УМН , 44 :3(267) (1989), 181-182 ; B. A. Khesin, “Versal deformations of intersections of invariant submanifolds of dynamical systems”, Russian Math. Surveys , 44 :3 (1989), 201-203
    5. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей.”, УМН , 46 :1(277) (1991), 3-39 ; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, “Finitely-smooth normal forms of local families of diffeomorphisms and vector fields”, Russian Math. Surveys , 46 :1 (1991), 1-43
    6. И. Д. Чуешов, “Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики”, УМН , 48 :3(291) (1993), 135-162 ; I. D. Chueshov, “Global attractors for non-linear problems of mathematical physics”, Russian Math. Surveys , 48 :3 (1993), 133-161
    7. Е. В. Николаев, “Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию”, Матем. сб. , 186 :4 (1995), 143-160 ; E. V. Nikolaev, “Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting an involutive symmetry”, Sb. Math. , 186 :4 (1995), 611-627
    8. С. В. Гонченко, “Модули $\Omega$ -сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром”, Матем. сб. , 187 :9 (1996), 3-24 ; S. V. Gonchenko, “Moduli of $\Omega$ -conjugacy of two-dimensional diffeomorphisms with a structurally unstable heteroclinic contour”, Sb. Math. , 187 :9 (1996), 1261-1281
    9. Д. В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к шестидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 52 :5(317) (1997), 235-255 ; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 60th birthday)”, Russian Math. Surveys , 52 :5 (1997), 1117-1139
    10. С. А. Вакуленко, П. В. Гордон, “Распространение и рассеяние кинков в неоднородной нелинейной среде”, ТМФ , 112 :3 (1997), 384-394 ; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Propagation and scattering of kinks in inhomogeneous nonlinear media”, Theoret. and Math. Phys. , 112 :3 (1997), 1104-1112
    11. Е. А. Сатаев, “Производная Шварца для многомерных отображений и потоков”, Матем. сб. , 190 :1 (1999), 139-160 ; E. A. Sataev, “Schwartzian derivative for multidimensional maps and flows”, Sb. Math. , 190 :1 (1999), 143-164
    12. Э. Э. Шноль, Е. В. Николаев, “О бифуркациях симметричных положений равновесия, отвечающих двукратным собственным значениям”, Матем. сб. , 190 :9 (1999), 127-150 ; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, “On the bifurcations of equilibria corresponding to double eigenvalues”, Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
    13. Ю. Н. Бибиков, “Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний”, Матем. заметки , 65 :3 (1999), 323-335 ; Yu. N. Bibikov, “Stability and bifurcation under periodic perturbations of the equilibrium position of an oscillator with an infinitely large or infinitely small oscillation frequency”, Math. Notes , 65 :3 (1999), 269-279
    14. Э. Э. Шноль, “Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений”, Матем. сб. , 191 :8 (2000), 141-157 ; È. È. Shnol", “Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
    15. С. В. Богатырев, “Циклы-утки в системе Льенарда”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 12 , СамГТУ, Самара, 2001, 36-39
    16. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенных систем с одной или двумя медленными и быстрыми переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :4 (2002), 55-62
    17. Е. П. Волокитин, С. А. Тресков, “Бифуркационная диаграмма кубической системы льенаровского типа”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 67-75
    18. Е. А. Щепакина, “Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 162-169
    19. М. Д. Новиков, Б. М. Павлов, “О некоторых простых потоковых системах с хаотическими режимами”, Матем. моделирование , 14 :11 (2002), 63-77
    20. Е. А. Щепакина, “Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения”, Матем. моделирование , 14 :3 (2002), 30-42
    21. О. Д. Аносова, “Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах”, , Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2002, 27-32 ; O. D. Anosova, “Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
    22. Е. А. Щепакина, “Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 142-157
    23. Е. А. Щепакина, “Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения”, Матем. моделирование , 15 :8 (2003), 113-117
    24. Л. И. Кононенко, “Инфинитезимальный анализ сингулярных систем с быстрыми и медленными переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 51-59
    25. Л. Г. Куракин, В. И. Юдович, “О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы”, Сиб. матем. журн. , 45 :2 (2004), 356-374 ; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “On equilibrium bifurcations in the cosymmetry collapse of a dynamical system”, Siberian Math. J. , 45 :2 (2004), 294-310
    26. С. В. Гонченко, В. С. Гонченко, “О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”, Динамические системы и смежные вопросы геометрии , Сборник статей. Посвящается памяти академика Андрея Андреевича Болибруха, Тр. МИАН, 244 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2004, 87-114 ; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “On Bifurcations of Birth of Closed Invariant Curves in the Case of Two-Dimensional Diffeomorphisms with Homoclinic Tangencies”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
    27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards at folded nodes”, Mosc. Math. J. , 5 :1 (2005), 91-103
    28. Э. Л. Аэро, С. А. Вакуленко, “Асимптотическое поведение решений для сильно нелинейной модели кристаллической решетки”, ТМФ , 143 :3 (2005), 357-367 ; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Asymptotic Behavior of Solutions of a Strongly Nonlinear Model of a Crystal Lattice”, Theoret. and Math. Phys. , 143 :3 (2005), 782-791
    29. А. Р. Борисюк, “Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай”, Матем. сб. , 196 :4 (2005), 3-22 ; A. R. Borisyuk, “Global bifurcations on a Klein bottle. The general case”, Sb. Math. , 196 :4 (2005), 465-483
    30. Е. П. Белан, “О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной”, Журн. матем. физ., анал., геом. , 1 :1 (2005), 3-34
    31. Т. С. Фирсова, “Топология аналитических слоений в $\mathbb C^2$ . Свойство Купки-Смейла”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения , Сборник статей, Тр. МИАН, 254 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 162-180 ; T. S. Firsova, “Topology of Analytic Foliations in $\mathbb C^2$ . The Kupka-Smale Property”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
    32. А. О. Ремизов, “Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений”, Оптимальное управление , СМФН, 19 , РУДН, М., 2006, 131-170 ; A. O. Remizov, “Many-Dimensional Poincaré Construction and Singularities of Lifted Fields For Implicit Differential Equations”, Journal of Mathematical Sciences , 151 :6 (2008), 3561-3602
    33. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенной системы в $\mathbb R^3$ ”, Сиб. журн. индустр. матем. , 10 :4 (2007), 76-82 ; L. I. Kononenko, “Qualitative analysis of a singularly perturbed system in $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Industr. Math. , 3 :4 (2009), 456-461
    34. Ю. А. Гришина, А. А. Давыдов, “Структурная устойчивость простейших динамических неравенств”, Динамические системы и оптимизация , Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2007, 89-101 ; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Structural Stability of Simplest Dynamical Inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
    35. Ф. И. Атауллаханов, Е. С. Лобанова, О. Л. Морозова, Э. Э. Шноль, Е. А. Ермакова, А. А. Бутылин, А. Н. Заикин, “Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови”, УФН , 177 :1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, È. È. Shnol", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Intricate regimes of propagation of an excitation and self-organization in the blood clotting model”, Phys. Usp. , 50 :1 (2007), 79-94
    36. П. Д. Лебедев, “Вычисление меры невыпуклости плоских множеств”, Тр. ИММ УрО РАН, 13 , № 3, 2007, 84-94
    37. “Владимир Игоревич Арнольд (к семидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 62 :5(377) (2007), 175-184 ; “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 70th birthday)”, Russian Math. Surveys , 62 :5 (2007), 1021-1030
    38. Ю. М. Апонин, Е. А. Апонина, “Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования (обзор)”, Матем. биология и биоинформ. , 2 :2 (2007), 347-360
    39. Е. С. Голодова, Е. А. Щепакина, “Моделирование безопасных процессов горения с максимальной температурой”, Матем. моделирование , 20 :5 (2008), 55-68 ; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Modelling of safe combustion with maximal temperature”, Math. Models Comput. Simul. , 1 :2 (2009), 322-334
    40. В. М. Закалюкин, А. О. Ремизов, “Лежандровы особенности в системах неявных обыкновенных дифференциальных уравнений и быстро-медленных динамических системах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 140-153 ; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Legendre Singularities in Systems of Implicit ODEs and Slow-Fast Dynamical Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
    41. Н. Е. Кулагин, Л. М. Лерман, Т. Г. Шмакова, “О радиальных решениях уравнения Свифта-Хоенберга”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 188-209 ; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, “On Radial Solutions of the Swift-Hohenberg Equation”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
    42. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Геометрия и асимптотика волновых фронтов”, Изв. вузов. Матем. , 2008, № 3, 27-37 ; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Geometry and the asymptotics of wave forms”, Russian Math. (Iz. VUZ) , 52 :3 (2008), 24-33
    43. Л. И. Кононенко, “Релаксации в сингулярно возмущенных системах на плоскости”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. , 9 :4 (2009), 45-50
    44. Д. В. Аносов, “О математических работах Л. С. Понтрягина”, Дифференциальные уравнения и топология. I , Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 11-23 ; D. V. Anosov, “On the mathematical work of L. S. Pontryagin”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16

    • (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой про-цесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через по-следовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.
    Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, так называемый катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
    Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фей- генбаум. При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум анализировал в основном следующее логистическое уравнение:
    X + , = СХ - С(Х у = СХ (1 - X)
    п+1 и 4 и7 пу п"
    где X - комплексное число; С - внешний параметр.
    Из этого уравнения он вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.
    Ниже рассмотрен классический биологический пример этого урав-нения.
    Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью X. Через год появляется потомство численностью X
    и и + 1
    Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (CXJ, где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недос-татка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом С(Хп)2.
    Результатом расчетов являются следующие выводы:
    при С в области 1 в диапазоне 3 при С > 3.57 количество решений логистического уравнения начинает стремиться к бесконечности, в результате чего происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закраши-ваются) и поведение системы становится хаотическим.
    С ростом С иногда появляются области, в которых количество решений логистического уравнения вновь снижается до видимых величин. Так, при Сот 3.627 до 3.631 (включительно) количество решений снижается до шести, а при С = 3.632 достигает двенадцати.
    Впоследствии, однако, с ростом С количество решений вновь увели-чивается.
    Интерес может также представлять значение внешнего параметра С = = 3.67857351. До него решение логистического уравнения для каждого п является или больше, или меньше предыдущего. После достижения этого значения начинает проявляться следующий эффект - вслед за растущим значением Хп иногда начинают появляться растущие значения Хп, хотя ранее за ростом всегда следовало падение.
    Подобное поведение логистического уравнения подвигло классиков теории хаоса к выводу о том, что итогом развития всех эволюционирующих физических систем является состояние, похожее на состояние дина-мического хаоса.
    Отсюда делаются следующие выводы о хаотических системах:
    Хаотические системы - это системы с обратной связью, когда от предыдущего значения зависит последующее. Этот факт прямо указывает на то, что хаотические системы неслучайны, так как одним из свойств случайных блужданий является независимость предыдущих и последующих событий друг от друга.
    В хаотических системах много точек равновесия. Так, при достижении параметром С определенного значения наблюдается более чем одна точка равновесия. В нашем примере это свойство проявляется уже при С = 3. До первой точки бифуркации система является ли-нейной и еще не хаотична. Однако уже после первой бифуркации динамика системы становится нелинейной, приобретая все больше хаотических очертаний. И после С > 3.57 количество вариантов решений логистического уравнения приобретает завершенный хаотический характер.
    Хаотическая система является фракталом. Как мы помним, главное свойство фракталов - самоподобие. Так и в известной бифуркаци-онной модели малые элементы подобны большим, что очень хорошо видно на рис. 6.11.


    Если рассматривать теорию бифуркации в пересечении с теорией эффективных рынков, в точке бифуркации на рынок поступает новая информация, которая приводит к очередному бифуркационному изме-нению. Как только действие информации заканчивается, рынок успокаи-вается. Успокаивается он до появления новой информации, а значит, до новой точки бифуркации.
    Динамические переменные Хп принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).
    Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым, а бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).
    Логистическое уравнение можно свести к следующей системе уравнений при условии, если уп стремится к уп:
    Гх„(1-х„) = х„_1(1-хя_1)
    [Х„ =СХ„_1(1-ХЯ_1)
    Из этой системы выводится простая формула, которую мы уже видели ранее:
    X = 1 - 11С.
    п
    Отсюда видно, что Хп меньше единицы при любых значениях С. Второй вывод: Хп тем больше, чем больше С. Это означает рост точки сходимости (или нахождение точки, в которой логистическое уравнение стремится найти равновесие) вместе с ростом внешнего параметра.
    На основании этой формулы можно легко рассчитать, что при С - 3 решение логистического уравнения стремится к 2/3, т.е. к 0.666666... в периоде.
    Рассчитать логистическое уравнение можно на персональном компьютере, используя электронную таблицу Excel. Для этого в ячейку А1 по-местите значение внешнего параметра С. Начните, например, с 0.5. В ячейку В1 поместите значение комплексного числа X, например 0.1. Дальше в ячейку В2 необходимо будет ввести следующую формулу, которую продлите на максимально возможное для одного столбца количество значений (например, до 65 536 строки):
    =$А$1 X В1 X (1 - В1).
    Элементарные расчеты покажут вам, что, действительно, с ростом периодов п результат логистического уравнения стремится к нулю.
    При увеличении параметра С до 2 логистическое уравнение уже через п = 5 (при X - 0.1) сходится к 0.5.
    При увеличении параметра С до 3 результат логистического уравнения, действительно, сначала словно раздваивается, однако впоследствии он так же, как и при всех предыдущих значениях С, стремится сойтись к одной точке, значение которой мы уже знаем (2/3).
    Из формулы логистического уравнения видно, что с ростом п нивелируется разница в первом значении X для итогового решения логистиче-ского уравнения. Что интересно, это верно и для больших значений С. Из этого можно сделать вывод, что в логистическом уравнении самой важной переменной является величина внешнего параметра С. В биоло-гическом примере этим параметром является скорость роста популяции. При небольших значениях скорости роста, как показывают расчеты, она определит период времени п, за который система придет в равновесие.
    Фейгенбаум в результате своих исследований нашел следующую зако-номерность в появлении бифуркаций:
    F = = 4.669201660910...,
    Ow-ь»)
    где F -- число Фейгенбаума (универсальная константа, подобно числу Ті);
    Ь - значение внешнего параметра С при п-й бифуркации.
    Кстати, универсальность константы Фейгенбаума как характеристики многих естественных хаотических процессов оставляет надежду на систе-матизацию и классификацию хаоса.
    Используя число Фейгенбаума, можно найти значение С, при котором можно будет ожидать очередной бифуркации решений логистического уравнения:
    4.669201609...
    Применение этой формулы позволяет предсказывать, какие значения внешнего параметра С являются критическими для возникновения новой бифуркации. Интересно, что проведенные мной расчеты показали, что внешний параметр С для рассматриваемого нами логистического уравнения стремится к пределу 3.569945672, и сколь долго бы я не про-водил расчеты в поиске следующей точки бифуркации, они заканчива лись неудачей. Конечно же, вручную можно ввести и большие значения С, однако приведенная выше формула для определения значения внеш- него параметра С при п-й бифуркации в этом нам уже не поможет. Вместе с тем эта формула дает возможность наглядно понять, как очень малые изменения внешнего параметра С приводят к очень большим изменениям в решении логистического уравнения через большое количество периодов п.
    Фейгенбаум также установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода. Здесь следует сказать, что в литературе, посвященной теории хаоса, делаются ссылки на экспери-ментальные подтверждения этого перехода для широкого класса механи-ческих, гидродинамических, химических и других систем.
    Результатом исследований Фейгенбаума стало так называемое дерево Фейгенбаума (рис. 6.12).


    Рис. 6.12. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической
    формулы)

    ,
    Между логистическим уравнением дерева Фейгенбаума {Хп+1 = СХп(1 - XJ) и множеством Мандельброта (Zn+1 - Z2 + С) видна схожесть, которая проявляется в том числе и в простом графическом сопоставлении. Здесь мы видим пересечение бифуркационных моделей с фракталами, что еще раз подтверждает, что бифуркации имеют фрактальную природу, поскольку они тоже самоподобны.
    Разница здесь только в том, что дерево Фейгенбаума растет в сторону, противоположную от множества Мандельброта. Это объясняется разницей знаков внутри соответствующих формул, где в первой формуле квадрат числа X отнимается, а во второй - квадрат числа Z прибав-ляется.


    .
    На рис. 6.13 видно, что каждая бифуркация сопровождается появле-нием новой фрактальной фигуры во множестве Мандельброта.
    Что же такое бифуркации в обыденности? Как мы знаем, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сигареты сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сна-чала кажутся упорядоченными, а затем становятся хаотически непредска-зуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. Причиной бифуркаций здесь является ускорение, которое через некоторое время после появления дыма приводит к тому, что плотность дыма падает ниже плотности воздуха и дым рассеивается.
    С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
    К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, и, когда изучаешь хаотическую систему, можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.
    Сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, действительно, это самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

    Обзор

    Бифуркация - это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

    Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая - при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой . В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой .

    Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой .

    Основные методы теории бифуркаций - это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).

    Бифуркация равновесий

    В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров . Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями . Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями . Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

    Основные понятия

    См. также

    Литература

    1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М .: Наука, 1967.
    2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
    3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М .: Наука. 1955.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое "Теория бифуркаций" в других словарях:

      Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия

      У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… … Википедия

      Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия

      Основная статья: Теория бифуркаций Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при… … Википедия

      Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

      БИФУРКАЦИЯ, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. 20 в., затем эта теория была развита А. А. Андроновым и учениками … Энциклопедический словарь

      - (от греч. katastrophe поворот, переворот), 1) совокупность приложений теории особенностей гладких (дифференцируемых) отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсеместно встречаются и их особенности … Естествознание. Энциклопедический словарь

      В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия

      У этого термина существуют и другие значения, см. Ласточкин хвост. Ласточкин хвост (англ. swallow tail) нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим… … Википедия

      Основная статья: Теория бифуркаций Постоянная Фейгенбаума универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом… … Википедия

    Во многих областях знаний (биология, география, педагогика) термин «бифуркация» обозначает «раздвоение», «разделение». В нелинейной динамике термин «бифуркация» трактуется более широко - это качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Определение из Универсальной энциклопедии» Кирилла и Мефодия: Бифуркация, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. XX века, затем эта теория была развита А.А. Андроновым и учениками. Знание основных бифуркаций позволяет существенно облегчить исследование реальных систем (физических, химических, биологических и др.), в частности предсказать характер новых движений, возникающих в момент перехода системы в качественно другое состояние, оценить их устойчивость и область существования.

    В качестве примера рассмотрим простую механическую систему: шарик, катающийся по желобу, профиль которого определяется с помощью соотношения:

    (8.1) у(х) = х 4 + ах 2 + bх

    Соответствующий график, поясняющий рассматриваемую систему, представлен на рис. 8.1. Здесь х - переменная, которая однозначно определяет местоположение шарика (а, следовательно, состояние системы в рассматриваемый момент времени), а и b - управляющие параметры, определяющие профиль рассматриваемого желоба. При изменении величин управляющих параметров а и b изменяется профиль желоба, что влечет за собой изменение состояния системы - меняется местоположение равновесного состояния, шарик смещается в новое положение равновесия (происходит изменение величины переменной х ). Таким образом, меняя управляющие параметры а и b , мы можем изменять состояние системы.



    Рис. 8.1. Шарик в потенциальной ямке (а = –0,8; b = 1). Координата х 0 определяет местоположение шарика, параметры а и b - профиль желоба

    Все возможные значения управляющих параметров можно представить себе, как плоскость (а, b ), называемую плоскостью управляющих параметров. Любая точка на этой плоскости однозначно соответствует одному, вполне определенному виду профиля желоба, по которому катается шарик. И наоборот, любой желоб вида (8.1) может быть поставлен в соответствие точке на плоскости (а, b ). Если бы управляющих параметров было не два, а больше (например, три), то речь бы шла о пространстве параметров. Вернемся, однако, к понятию «бифуркация». Речь идет о том, что при малых изменениях значений управляющих параметров происходит качественное изменение состояния системы. Подчеркнем два важных момента: малые изменения значений управляющих параметров и качественное изменение состояния системы. Иными словами, всякое (малое) изменение управляющих параметров, конечно же, приводит к изменению состояния системы, но если отличия между начальным и конечным состояниями качественным образом не отличаются, то нельзя говорить о бифуркации.

    Поясним сказанное на примере шарика в потенциальной ямке. На рис. 8.2 приведена плоскость управляющих параметров (а, b ), и в некоторых точках показан профиль желоба, по которому может кататься шарик. Из рисунка видно, например, что в точках 3 и 4 плоскости параметров профили желоба, конечно же, отличаются друг от друга, но это отличие носит количественный, а не качественный характер. Качественно же оба эти профиля подобны: они имеют один минимум, а, следовательно, одно состояние устойчивого равновесия. В то же самое время, на плоскости параметров существует область (ограниченная пунктирными линиями), в которой желоб имеет три состояния равновесия. Желоб имеет три точки, в которых шарик может находиться в состоянии равновесия; два из этих состояний устойчивы, а одно - неустойчивое.

    Рис. 8.2. Плоскость управляющих параметров (а, b ) и вид потенциальной ямы в некоторых точках плоскости параметров

    Если шарик будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия (рис. 8.3), то любые сколь угодно малые воздействия на него (а такие воздействия рано или поздно обязательно реализуются) выведут шарик из этого состояния равновесия, и он скатится в одну из ямок - либо левую, либо правую. И в левой, и в правой ямках шарик будет находиться в состоянии устойчивого равновесия сколь угодно долго. В какую из двух этих ямок шарик попадет - определяется волей случая. Подобные системы, в которых возможно несколько устойчивых состояний (из которых реализуется, естественно, только одно), называются мультистабильными, а само явление - мультистабильностью.

    Рис. 8.3. Система, находящаяся в состоянии неустойчивого равновесия. Незначительные воздействия на систему извне с неизбежностью приведут к тому, что система перейдет в устойчивое состояние равновесия

    Понятно, что желоб с двумя ямками (и тремя состояниями равновесия) качественно отличается от желоба с одним состоянием равновесия. Переход от одного состояния к другому, качественно иному, как нетрудно догадаться, осуществляется на пунктирных линиях (см. рис. 8.2). Если на плоскости управляющих параметров достаточно близко «подойти» к пунктирной линии, то затем, слегка изменив управляющий параметр, можно пересечь эту линию, что приведет к качественной перестройке всей системы. Произойдет то, что и называется бифуркацией: качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Линию, при пересечении которой происходит бифуркация, называют линией бифуркации, а значения параметров, при которых наблюдается бифуркация - бифуркационными параметрами.

    Рассмотрим теперь суть происходящих явлений с точки зрения шарика, который находится в желобе. Пусть управляющие параметры а и b медленно изменяются в соответствии с тем, как это показано стрелкой на рис. 8.4. В соответствии с изменением управляющих параметров, профиль желоба непрерывно изменяется. В точке 1 плоскости параметров желоб имеет одно устойчивое состояние равновесия, в котором и находится шарик. При пересечении пунктирной линии в точке 2 у желоба возникает еще один минимум и один максимум, т.е. появляются еще два состояния равновесия, одно из которых устойчивое (минимум), а другое - нет. По мере дальнейшего движения по плоскости параметров по указанному маршруту второй минимум становится все более глубоким (точка 3) и при достижении точки 4 глубина обеих ямок желоба оказывается одинаковой. В этом случае оба состояния равновесия «равноправны». Заметим, однако, что шарик до сих пор даже «не заметил» появления второго состояния равновесия, в котором он вполне мог бы находиться. Для шарика почти ничего не изменилось: он как находился в ямке, так и продолжает там оставаться. Да, с изменением управляющих параметров изменяется координата х 0 равновесного состояния, а, следовательно, и координата местонахождения шарика, но это изменение столь незначительное, что шарик не придает ему особого значения. Плавные, малые изменения незаметны и кажутся неважными.

    Рис. 8.4. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров в направлении, показанном стрелкой

    Действительно, задумываемся ли мы каждое утро над тем, что стали на день старше? Обращаем ли мы внимание на то, что 15 января продолжительность дня была 7 ч 39 мин, а 16 января - 7 ч 42 мин? Замечаем ли осенним днем, что листья стали еще чуть-чуть желтее, чем были накануне? Так незаметно накапливаются малые изменения, на которые мы не обращаем внимания. Малое изменение координаты состояния равновесия от точки к точке при движении по плоскости управляющих параметров - вещь столь незначительная и неважная, что шарик не обращает на это никакого внимания. Наверное, шарику вполне могло бы показаться интересным и важным появление второго возможного состояния, в котором он мог бы находиться, но это второе состояние остается невидимым для шарика, оно скрыто от него высокими стенками желоба, и шарик о его существовании просто-напросто не догадывается.

    Продолжим движение по плоскости управляющих параметров. В точке 5 глубина второго, «альтернативного» минимума превосходит глубину того минимума, в котором находится шарик, да и ширина второго минимума тоже больше, чем ширина первого. Понятно, что второе устойчивое состояние равновесия теперь уже более предпочтительно, нежели первое. Тем не менее, шарик по-прежнему «живет» в первом состоянии равновесия, и для него по-прежнему, по большому счету, ничего не изменилось. Второе состояние равновесия по-прежнему для него невидимо. Хотя теперь шарик может, если обратит внимание, по косвенным признакам определить, что в системе что-то изменилось: стали не столь крутыми стенки ямки, в которой он находится, да и глубина ямки, кажется, стала поменьше. Но сможет ли шарик за этими незначительными изменениями (которые являются предвестниками дальнейших событий) увидеть нечто более серьезное, чем некоторое изменение окружающей его среды, сможет ли он понять, что его теперешнее состояние равновесия находится под угрозой, зависит от его, шарика, «прозорливости». В подобной простой механической системе, наверное, это не очень сложно, особенно если у шарика есть некоторый опыт, т.е. если он несколько раз уже бывал в подобных ситуациях. Ведь еще небольшое движение, незначительное изменение управляющих параметров, и состояние равновесия, в котором очень долгое время находился шарик, исчезнет (точка 6), и шарик будет переброшен в совершенно иное состояние.

    Приведем другой классический пример бифуркации, рассмотренный еще великим Эйлером. Нам понадобится измерительная линейка, тонкий столовый нож, полотно от ножевки, длинная пластмассовая расческа и т.п. Поставьте ее вертикально на твердое основание, а сами, обезопасив руку от травмы, начинайте давить на нее вниз (рис. 8.5). Увеличивая усилие F , вы обнаружите, что при F бо льших некоторого значения F b полоска не сохраняет первоначальную прямолинейную форму (рис 8.5а) - это состояние теряет устойчивость, а вместо него возможно одно из двух других состояний (1 или 2 на рис 8.5б), когда полоска искривлена. Причем, какое состояние установится, зависит от разных незначительных факторов (первоначальной деформации полоски, отклонением от вертикали приложенной силы, вибрациями и т.п.). Здесь F - управляющий параметр, F b - его бифуркационное значение.

    Рис. 8.5. Опыт с линейкой: а) состояние линейки до бифуркации (величина F меньше бифуркационного значения); б) два возможных устойчивых состояния, в которые переходит система при превышении силой F бифуркационного значения F b ; в) соответствующая бифуркационная диаграмма

    Происходящее в рассмотренной системе удобно иллюстрировать с помощью графиков (рис. 8.5в, где х - отклонение средней точки полоски от вертикали) - бифуркационных диаграмм. На рисунке по горизонтали отложены значения параметра, а по вертикали соответствующие им значения переменной, установившиеся в системе (т.е. это - и не фазовая плоскость и не плоскость параметров, а нечто комбинированное). На диаграмме видно, что вместо одного состояния, отмеченного цифрой 0, после бифуркации существуют и могут быть реализованы на практике состояния 1 и 2. Что касается состояния 0, то оно продолжает в принципе существовать и при значениях F , бо льших бифуркационного, но не может быть практически реализовано из-за его неустойчивости.

    Понятно, что события, подпадающие под определение «бифуркация» (качественное изменение состояния системы при малых изменениях управляющих параметров), вполне можно отыскать и в социальных системах. Примером может служить революция, коренным образом перестраивающая привычную жизнь человеческого общества. Возможны и менее «глобальные» примеры. Человек работает-работает где-либо, и вдруг ни с того ни с сего, вроде бы из-за пустяка говорит: «А гори она огнем, вся эта шарага» и пишет заявление об увольнении. Система переходит в другое, качественно иное состояние.

    Следует, однако, отметить следующий аспект: социальные системы чрезвычайно сложны, и поэтому следует помнить о том, что применять существующие в нелинейной динамике понятия к подобным системам (в том числе и понятия «бифуркация», «мультистабильность») следует с осторожностью, памятуя о том, что простой механический перенос может привести к ошибкам, а порой и к фальсификации. Когда речь идет о шарике в потенциальной яме, совершенно понятно, о каких возможных состояниях системы идет речь, какие из них устойчивые, какие нет, наконец, какое состояние реализуется в настоящий момент времени. Но что понимать под возможными состояниями социальной системы? Реализующееся состояние в данный момент времени - единственное, про остальные состояния, «существуют» они (точнее говоря, могли ли они осуществиться вместо теперешнего) или нет, остается только гадать, и наши догадки останутся догадками, о достоверности которых мы тоже можем делать свои заключения, но не более. Понятие «мультистабильность», по всей видимости, может быть применено к социальными системам, но вот «экспериментально» проверить существование мультистабильности в социальных системах, наверное, невозможно. Невозможно показать, что для какого-либо фиксированного момента времени (например, сегодняшнего) помимо того состояния, которое реализуется, «существует» еще одно (или несколько) альтернативных состояний, каждое из которых могло с той или иной вероятностью реализоваться. Предполагать это можно, но экспериментально проверить - нет. И конечно, «увидеть», «почувствовать», что социальная система приближается к точке бифуркации, за которой возникнет качественно другое состояние, существенно сложнее. И если мы видели, что шарик, находящийся в потенциальной ямке, практически до самого последнего момента не «видит» надвигающейся бифуркации (и перехода системы в иное состояние), что говорить о людях и о социальных системах. Н.С. Хрущев, например, не заметил приближение системы к точке бифуркации, отправляясь из отпуска на Пленум ЦК в октябре 1964 года, по результатам которого он был освобожден от должности Первого секретаря ЦК и выведен из состава Президиума, а на следующий день - от должности Председателя Совета Министров СССР. И Гай Юлий Цезарь в 44 году до н.э. также не заметил надвигающейся бифуркации, за что поплатился жизнью.

    Обратим внимание еще на один важный аспект, связанный с понятием «бифуркация». В тот момент, когда система (по параметрам) находится вблизи точки бифуркации, очень большую роль начинают играть малые возмущения. Эти возмущения могут носить случайный характер или могут быть целенаправленными, но их роль существенно возрастает. Вернемся к шарику в потенциальной ямке и рассмотрим два состояния системы: вдали и вблизи от точки бифуркации (рис. 8.6). Видно, что когда система находится вдали отточки бифуркации, малые воздействия на нее не приводят к существенным изменениям ее состояния: шарик остается в том же самом положении, как и раньше. Для того чтобы «перебросить» систему в другое возможное состояние, необходимо приложить гораздо бо льшие усилия. В то же самое время, когда система находится вблизи точки бифуркации, даже малого воздействия (которого раньше система просто-напросто не заметила бы) достаточно, чтобы перевести систему из одного состояния в другое.

    Рис. 8.6. Система «шарик в потенциальной ямке» вдали и вблизи от точки бифуркации

    Итак, вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему могут привести к несоизмеримо большим «откликам». Еще одним фактором, который может привести к изменению состояния системы, является малое изменение управляющих параметров. Если система близка к точке бифуркации, то легкое «шевеление» управляющих параметров может привести к тому, что система окажется уже за границей бифуркации (как говорят, в закритической области), и система сама, уже безо всяких внешних воздействий, перейдет в новое состояние. На примере шарика в желобе, после пересечения бифуркационной линии в точке 6 (см. рис. 8.4), устойчивое состояние равновесия, в котором до этого момента находился шарик, сливается с неустойчивым и исчезает, а, следовательно, шарику ничего более не остается, как «перейти» к другому состоянию равновесия.

    Примеров подобному поведению систем вблизи линии бифуркации много. По всей видимости, ряд операций на финансовых и фондовых рынках также можно использовать в качестве примера. Организованные действия группы лиц, заинтересованных в проведении той или иной финансовой операции, проведенные в нужный момент, приводят к тому, что либо на систему, находящуюся около состояния бифуркации, оказывается воздействие, выводящее ее из состояния равновесия, либо происходит малое шевеление управляющих параметров, и система оказывается в закритической области. В результате происходит переход системы в новое состояние, например, контрольный пакет акций оказывается у заинтересованного лица. Но если подобную операцию проводить в тот момент, когда система далека от состояния бифуркации, можно затратить большие средства, но желаемого результата не достичь.

    Таким образом, воздействуя на систему, находящуюся вблизи бифуркационного состояния, можно добиться кардинальных изменений. Другое дело, что социальные системы - это не шарик в желобе. Определить, когда система приближается к точке бифуркации - сложная задача. Но не менее сложная и не менее важная задача, если возникает желание управлять подобным образом социальными системами, - это определить, в какое состояние перейдет система после того, как она покинет состояние равновесия.

    Не стоит, однако, думать, что бифуркация - это всегда какое-либо резкое изменение, когда система изменяется до неузнаваемости. Пример бифуркации с сосуществующими положениями равновесия, описанный выше - один из самых простых. Вообще, в теории бифуркаций существует достаточно большое число различных типов бифуркационных ситуаций. Так, например, различают бифуркации и катастрофы; существует даже теория катастроф. Следует подчеркнуть, что бифуркации могут происходить плавно, подчас незаметно. Пересечение пунктирной линии в точке 2 на рис. 8.4 приводит к тому, что система качественно изменяется (меняется число возможных устойчивых состояний равновесия в системе), следовательно, происходит бифуркация. Однако, как уже говорилось, шарик, находящийся в другой ямке, не замечает произошедшей бифуркации. Другой пример с той же самой системой приведен на рис. 8.7. При движении по плоскости управляющих параметров вдоль линии b = 0 в точке a = 0 происходит бифуркация, состояние системы качественно изменяется, однако это изменение происходит плавно, без «катаклизмов». Шарик может заметить, что в системе что-то изменилось, поскольку его координата х 0 вначале (до бифуркации) была равна нулю, а затем стала отличной от нуля. Однако это изменение произошло очень плавно, и ему можно не придать значение.

    Рис. 8.7. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров вдоль линии b = 0 в направлении, указанном стрелкой

    Но и в этом случае вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему играют значительную роль. Именно эти воздействия определяют, в какую из ямок (левую или правую) попадет шарик. Именно эти ничтожные воздействия определяют, по большому счету, дальнейшую судьбу системы. В ситуации, изображенной на рис. 8.7, малые воздействия привели к тому, что шарик оказался в правой ямке. Если, после того как система уйдет от точки бифуркации, потребуется изменить состояние системы, потребуется перебросить шарик в другую ямку, то придется приложить усилия, несоизмеримо больше тех, которые в точке бифуркации определили выбор дальнейшей эволюции системы. Примером такой «мягкой», но заметной бифуркации могут являться демократические выборы. До того момента, пока не прошло голосование, на судьбу дальнейшего развития страны могут повлиять самые незначительные факторы (может быть, вплоть до прически кандидата). После того, как выборы состоялись, изменить что-либо гораздо сложнее.

    Недавно опубликована статья И.Пригожина Кость еще не брошена. Послание будущим поколениям. В частности, он пишет следующее. «Будущее не дано нам заранее. Великий французский историк Фернанд Бродель однажды заметил: „События - это пыль". Правильно ли это? Что такое событие? Сразу же приходит аналогия с „бифуркациями", которые изучаются прежде всего в неравновесной физике. Эти бифуркации появляются в особых точках, где траектория, по которой движется система, разделяется на „ветви". Все ветви равно возможны, но только одна из них будет осуществлена. Обычно наблюдается не единственная бифуркация, а целая последовательность бифуркаций... С этой точки зрения история оказывается последовательностью бифуркаций».

    Далее И. Пригожин подчеркивает, что за выбор ветви, которая возникает после точки бифуркации, отвечают флуктуации на микроскопическом уровне (они определяют событие, которое произойдет). В применении к обществу (по Пригожину такое применение - метафора) событие представляет собой возникновение новой социальной структуры после прохождения бифуркации, а флуктуации - следствие индивидуальных действий. Таким образом, событие имеет микроструктуру. В качестве примера И. Пригожин рассматривает революцию 1917 года в России, указывая, что конец царского режима мог принять различные формы. Он считает, что ветвь, по которой пошло развитие, была результатом действий «флуктуации», связанной с отсутствием дальновидности у царя, непопулярностью его жены, слабостью Керенского, насилием Ленина. Эта микроструктура и обусловила все последующие события.

    «Мое послание будущим поколениям состоит, стало быть, в том, что кость еще не брошена, что ветвь, по которой пойдет развитие после бифуркации, еще не выбрана. Мы живем в эпоху флуктуаций, когда индивидуальное действие остается существенным... Я верю в возникновение необходимых флуктуаций, посредством которых те опасности, которые мы ощущаем сегодня, могли бы быть успешно преодолены».

    Для изучения видов бифуркации желательно разобраться с самим . В общем случае исследование всего фазового пространства на точки бифуркации является сложной задачей для n-мерного пространства, поэтому проводятся локальные исследования, а полученные точки бифуркации называются локальными точками бифуркации . За локальными точками бифуркации можно проследить, наблюдая развитие малых возмущений в системе Бифуркации состояний равновесия и периодических движений на примере шарика. Простейшими и наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и периодических движений.

    Бифуркация положений равновесия

    К основным бифуркациям состояний равновесия относят:
    1. слияние и последующее исчезновение двух состояний равновесия. Примером может служить движение шарика в потенциальной «яме» с «полочкой» (рис. 1). При сглаживании «полочки» BD состояние равновесия «седло» S и центр С 2 сливаются и исчезают (рис. 2).
    Рисунок 1 - Схема движения шарика в «яме» с «полочкой» (а) и его фазовый портрет (б) Рисунок 2 - Схема движения шарика после бифуркации (а) и его фазовый портрет (б)
    • Рождение предельного цикла из состояния равновесия. Пример такой бифуркации бифуркация Хопфа .
    Рассмотрим динамическую систему (1) Динамическаия система Она является упрощенным выражением сложной динамической системы, описываемой функциями x(t) и y(t) , которые выражаются через соответствующие полярные координаты: и называется системой Хопфа. Система (1) зависит от двух параметров, один из которых λ будет для нас ключевым, а другой с=const . Решения задачи Коши при некоторых заданных начальных значения r(t=0)=r 0 , "phi;(t=0)="phi; 0 при λ < 0 дает нам фазовый портрет и график динамики, изображенные на рис. 3.
    Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовый портрет (б) В данном случае существует единственная особая точка - устойчивый фокус . Построим теперь график динамики и фазовый портрет для случая λ > 0 (λ = 4) (см. рис. 4)
    Рисунок 3 - График динамики (а) и фазовий портрет (б) при λ > 0 Разными цветами изображены развязки при различных начальных условиях. Как видим, после короткого переходного процесса система входит в колебательный режим, причем амплитуда и частота колебаний не зависят от начальных условий (при любых начальных условиях система придет в одно и то же колебательное состояние). На фазовом портрете решение для разных начальных условий как бы «наматываются» на замкнутую кривую. Эта кривая, к которой при t -> ∞ стремятся решения задачи Коши, является аттрактором и называется предельным циклом . Колебательный процесс, описывающий этот предельный цикл, называется автоколебаниями . Развязки в виде автоколебаний возможны только в существенно нелинейных динамических системах. Динамическая система Хопфа имеет нелинейность в виде куба параметра, причем дополнительная нелинейность накладывается благодаря определению функций x(t) и y(t) как выражений тригонометрических функций. Можно доказать, что для данной динамической системы амплитуда колебаний равна . Итак, λ = 0 - бифуркационные значения параметра. В этой точке узел теряет устойчивость и вместо него рождается устойчивый предельный цикл. Данная бифуркация рождения предельного цикла из неподвижной точки называется бифуркацией Хопфа , а рождение автоколебаний - мягким (при малых изменениях параметра колебания имеют малую амплитуду, которая увеличивается с его ростом). Жесткое рождения автоколебаний - при малых изменениях параметра происходит «выброс» траектории в область притяжения другого аттрактора.
    • Рождение из одного равновесного состояния трех состояний равновесия - спонтанное нарушение симметрии. Например, при движении шарика в желобе при условии появления в нем бугорка появляется бифуркация, при которой из вырожденного состояния типа «центр» возникают три состояния равновесия - седло S и центры С1 и С2 (рис. 4)

    Рисунок 4 - Рождения из одного состояния равновесия трех при малом изменении параметра (формы желоба): а) форма желоба с одним минимумом и соответствующий фазовый портрет с одним состоянием равновесия типа «центр»; б) форма желоба с двумя минимумами и соответствующий фазовый портрет с тремя состояниями равновесия: «седло» S и «центры» С1 и С2

    Бифуркации рождения (гибели) периодического движения

    Всем бифуркация рождения или гибели состояний равновесия соответствует прохождение одного или нескольких корней через ноль. Такая возможность проиллюстрирована на рис. 5, где изображена гибель двух состояний равновесия типа «седла» и «узла». Аналогичная бифуркация встречается в задачах о конкуренции видов Х1 и Х2, питающихся из одного источника. Соответствующая динамическая система, описывающая численность популяций, задается уравнениями: При ρ 1,2 > 1 в системе возможна «победа» одного из видов. При уменьшении любого из параметров ρ 1,2 до значения, меньшего от 1, при любых начальных условиях будет выживать только один вид (рис. 5, б). Рисунок 5 - Фазовые портреты численности популяций, а) при ρ 1 < 1 , ρ 2 > 1 ; б) при ρ 1,2 > 1

    Бифуркации смены устойчивости периодических движений

    Весомая характеристика бифуркации устойчивости - значения мультипликаторов в критический момент, являющихся коэффициентами усиления (затухания) малых возмущений на фоне периодического движения за период Т. В автономной системе один из мультипликаторов всегда равен единице, поэтому в дальнейшем говорим о других. Если все мультипликаторы по модулю меньшие единицы, то начальное периодическое движение устойчиво. Бифуркации, связанные с исчезновением устойчивости, происходят при таких значениях параметров системы, при которых один или несколько из них равны по модулю 1.