Теорема о прямой перпендикулярной данной. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Теорема о проецировании прямого угла. Использование теоремы для решения задач

9.1 Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема о параллели к перпендикуляру позволяет доказать основную теорему о прямой, перпендикулярной плоскости.

Доказательство. Пусть даны точка А и плоскость α (рис. 87, а). Можно считать, что А не лежит в плоскости α, так как случай, когда А ∈ α, рассмотрен в задаче п. 7.3. Проведём через какую-либо точку плоскости α прямую а ⊥ α (задача п. 7.3).

Если а проходит через А, то она искомая прямая. Если это не так, то проведём через А прямую b||а. По теореме о параллели к перпендикуляру b ⊥ α. Итак, мы построили прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную α.

Рис. 87

Докажем, что такая прямая единственная. Допустим, что через точку А проходят две прямые р и q, перпендикулярные α. Проведём через них плоскость β (рис. 87, б). Эта плоскость пересекает плоскость α по некоторой прямой с. Так как р ⊥ α и q ⊥ α, то прямые р и q перпендикулярны прямой с. Получилось, что через точку А в плоскости β проходят две прямые р и q, перпендикулярные с. Из планиметрии известно, что это невозможно. Значит, через точку А проходит лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости α.

9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой

Изучение перпендикулярности прямой и плоскости мы завершим следующей теоремой:

Доказательство. Пусть заданы прямая а и точка А. Возможны два случая:

• Точка А лежит на прямой а (рис. 88, а). Этот случай уже рассматривали в п. 6.2. Напомним, что плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а, является плоскость перпендикуляров к прямой а в точке А. Такая плоскость единственна.
• Точка А не лежит на прямой а (рис. 88, б). В этом случае проведём через точку А прямую Ъ, которая пересекает прямую а в некоторой точке Б и перпендикулярна прямой а. Через точку В проведём плоскость а, перпендикулярную прямой а. Она является плоскостью перпендикуляров к а в точке В> а потому содержит прямую Ь. Но тогда а проходит через точку А. Итак, мы построили плоскость α, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а. Такая плоскость единственна (докажите это сами).

Рис. 88

Вопросы для самоконтроля

1. Существование каких объектов доказано в этом параграфе?
2. Через точку А проведены плоскость α, перпендикулярная прямой а, и прямая Ь, перпендикулярная той же прямой. Как расположены прямая b и плоскость α?

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

В начале изучения сегодняшней темы, мы разберём задачу на применение некоторых теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей

Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства -точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.

В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а. пусть эти прямые пересекаются в точке О.

В плоскости α проведём прямую с, проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а.

По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.

Рассмотрим плоскость γ (гамма), проходящая через прямые с и b.

Плоскость γ(гамма) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с

Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства - точку А.

Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m. Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m.

3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n. В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n.

5) Прямая т, перпендикулярна плоскости β, значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р.

6) Тогда прямая p перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n, лежащими в плоскости α, следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α.

7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p1, перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.

Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые АА1 и ВВ1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА1 АВ и АА1 АD. Найдите ВВ1, если В1D=25 см, АВ=12 см, AD=16 см.

Решение.1) Так как прямая АА1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку

перпендикулярности прямой к плоскости АА1 перпендикулярна к плоскости АВСD.

2) Прямая ВВ1 параллельна прямой АА1 следовательно по теореме и прямая ВВ1 перпендикулярна к плоскости АВСD, и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ1 перпендикулярна к прямой ВD. Значит треугольник В1ВD прямоугольный.

3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.

4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В1ВD. Квадрат катета В1В равен разности квадратов гипотенузы В1D и известного катета BD , и катет равен 15 см.

Рассмотрим задачу на доказательство.

Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||

Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.

1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b. Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b1.

3) Через точку N проведём прямую с1.

4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с1.

5)Через две пересекающие прямые с1 и b1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.

6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с1, следовательно прямая а перпендикулярна прямой с1.

7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b1, следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b1. Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.

9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.

10) Прямая b параллельна прямой b1, значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.

Соглашение

Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":

Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;

Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);

Запрещается использовать чужие данные;

Запрещается использовать чужие e-mail адреса;

Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:

1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.

1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).

1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.

4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.

4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.

4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".

4.4. Угрозы в адрес участников форума.

4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.

4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.

4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.

4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.

5.1. Мат и ненормативная лексика.

5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).

5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.

5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.

5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.

5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).

5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.

5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.

5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.

5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.

6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.

6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.

6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.

6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.

6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.

6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.

7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума

7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.

7.4. Удаление учетной записи.

7.5. Блокировка IP.

8. Примечания

8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.

8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.

8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.

8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.

9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.

Лекция по теме «Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости»

Вспомним их: Первая теорема Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

И две теоремы о параллельных прямых прямая теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

И обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Доказательство этих теорем мы уже с вами разбирали.

На экране текст:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

На экране добавляется текст:

Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Задача.

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для решения рассмотрим прямую а, и произвольную точку пространства –точку М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Для доказательства проведем две плоскости α и β содержащие прямую а, так как это их общая прямая, значит прямая а их линия пересечения.

В плоскости β через точку М проведем прямую b перпендикулярную к прямой а . пусть эти прямые пересекаются в точке О.

В плоскости α проведём прямую с , проходящую через точку О и перпендикулярную прямой а .

По теореме о существовании плоскости, а именно через две пересекающие прямые в и с можно провести плоскость и при том только одну.

Рассмотрим плоскость γ ( гамма ) , проходящая через прямые с и b .

Плоскость γ( гамма ) будет искомой плоскостью, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым в и с

На экране текст задачи: Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой.

На экране чертеж

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт решения.

Доказательство:

Проведем α, β: а , М

На экране обновляется чертёж и пункт доказательства 2)

Доказательство:

Проведем b : b , b , b а, b а=О

На экране обновляется чертёж и добавляется пункт доказательства 3)

Доказательство:

Проведем с: с , с , с а

Добавляется пункт доказательства 4)

Добавляется пункт доказательства 5)

a ⊥.

Данная задача демонстрирует существование плоскости перпендикулярной данной прямой. Рассмотрим теорему, утверждающую о существовании и единственности прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Рассмотрим плоскость α и произвольную точку пространства – точку А.

Докажем, что через точу А проходит единственная прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

1,2) Итак, проведем в плоскости α произвольную прямую m . Построим плоскость так что бы она проходила через точку А перпендикулярно к прямой m .

3,4)Пусть плоскость α и β пересекаются по прямой n . В плоскости β, через точку А проведём прямую р, перпендикулярно прямой n .

5) Прямая т , перпендикулярна плоскости β , значит перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, то есть прямая т перпендикулярна прямой р .

6) Тогда прямая p m и n , лежащими в плоскости α , следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая p перпендикулярна плоскости α .

7) Важно понимать, что такая прямая может быть только одна. Если бы через точку А проходило две прямых, например, ещё прямая p 1 , перпендикулярная плоскости α. Но две прямые перпендикулярные одной плоскости параллельны, что противоречит нашему предположению. Таким образом, через точку пространства проходит только одна прямая перпендикулярная данной плоскости.

Это утверждение в геометрии носит название теоремы о прямой, перпендикулярной к плоскости.

На экране текст:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

На экране чертеж

Доказательство:

Проведём m : m

Рассмотрим β: βА

αβ = n

Проведем p : p , А р , pm .

К доказательству добавляется пункт 6)

На экране обновляется чертеж и пункт доказательства:

е сущ.

Задача

Через вершины А и В прямоугольника АВС D 1 и ВВ 1 1 АВ и АА 1 А D D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см.

Решение.1) Так как прямая АА 1 перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD и АВ лежащим в плоскости прямоугольника, то признаку перпендикулярности прямой к плоскости АА 1 D .

2) Прямая ВВ 1 параллельна прямой АА 1 следовательно по теореме и прямая ВВ 1 перпендикулярна к плоскости АВС D , и перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то есть ВВ 1 перпендикулярна к прямой В D . Значит треугольник В 1 В D прямоугольный.

3) Из прямоугольного треугольника ВAD по теореме Пифагора квадрат гипотенузы BD равен сумме квадратов катетов АВ и AD и BD равняется 20 см.

4)По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника В 1 В D . Квадрат катета В 1 В равен разности квадратов гипотенузы В 1 D и известного катета BD , и катет равен 15 см.

На экране текст задачи. Через вершины А и В прямоугольника АВС D проведены параллельные прямые АА 1 и ВВ 1 не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что АА 1 АВ и АА 1 А D . Найдите ВВ 1 , если В 1 D =25 см, АВ=12 см, AD =16 см

На экране текст и чертёж:

Решение:

К решению добавляется пункт 2) обновляется чертеж

К решению добавляется пункт 3)

1. : по теореме Пифагора

В D =

К решению добавляется пункт 4) и потом ответ

: по теореме Пифагора

Ответ: 15 см.

Рассмотрим задачу на доказательство.

Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b b ||

Назовём точку пресечения прямой и плоскости-точкой М.

1,2) Отметим на прямой а некоторую точку N не лежащую на прямой b . Через точку не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую параллельную данной. Пусть этой прямой будет прямая b 1 .

3) Через точку N проведём прямую с 1 .

4)Через точку М в плоскости α проведём прямую с параллельную прямой с 1 .

5)Через две пересекающие прямые с 1 и b 1 можно провести плоскость β согласно теореме о существовании плоскости.

6) Прямая а перпендикулярна по условию плоскости α, значит перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости, но с параллельна прямой с 1 , следовательно прямая а перпендикулярна прямой с 1 .

7,8) Аналогично прямая а перпендикулярна прямой b по условию, прямая b параллельна прямой b 1 , следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b 1 . Значит прямая а, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярна плоскости β.

9)Плоскости α и β перпендикулярны прямой а, значит они параллельны.

10) Прямая b параллельна прямой b 1 , значит она параллельна плоскости β, и параллельна плоскости α.

На экране текст задачи:

Задача 3. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b , не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b||

Дано: а, а b

Доказать, что || b

Доказательство:

Отметим N : .

b 1 : b 1

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

Проведем с 1 : с 1

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт 4)

Проведем с: с

На экране обновляется чертеж и добавляется пункт доказательства:

Добавляется пункт доказательства 6):

a ⊥α

Добавляется пункт доказательства 7) 8)

ab .

Добавляется пункт доказательства 9)

Добавляется пункт доказательства 10)

Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла, а суть ее в следующем:

при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину (прямым) только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая - не перпендикулярна этой плоскости,

в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.

Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.

Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали (рис. 67) или соответствующим следам плоскости (рис. 68).

На рис. 69 изображена плоскость общего положения (a b ), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 67 Рис. 68

Рис. 69

Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронтальv (через точки 1,4) (рис. 69).

Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:

n"  h" n""  h""

Построенная прямая n (n" ,n"" ) является искомым перпендикуляром к плоскости.

1. Перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:

1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;

2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.

На рис. 70 изображены прямая общего положения l и плоскость общего положения(а b ). Требуется построить через прямуюl плоскость, перпендикулярную к плоскости.

Рис. 70

Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М , провести перпендикуляр к плоскости, заданной пересекающимися прямымиa иb .

Проводим в плоскости горизонтальh и фронтальv (рис. 70).

Далее из точки М , взятой на прямойl , опускаем перпендикулярn , пользуясь рассмотренным выше положением:n" h" ;n"" v"" , т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его проекция - перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 70).

Плоскость (l n ), проходящая через прямуюn , будет перпендикулярна к плоскости.

1. Перпендикулярные прямые

Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

На рис. 71 изображена прямая l общего положения, к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 71

Через точку А прямойl строим перпендикулярную к ней плоскость(h v ):

l"  h" ; l""  h"" (рис. 71).

Любая прямая, лежащая в плоскости будет также перпендикулярна к данной прямойl . Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямуюt , на которой возьмем произвольную точку, например, точкуВ (рис. 71).

Соединив точки А иВ , лежащие в плоскости, получим прямуюn , перпендикулярную к данной прямойl (рис. 71).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Что называется линией наибольшего наклона плоскости?

Как определить угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций?

Как отображается на комплексном чертеже взаимная перпендикулярность прямой и плоскости?

Сформулировать необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых общего положения.

При каких условиях перпендикулярны между собой две плоскости общего положения?

Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой?

Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?

Как построить взаимно-перпендикулярные плоскости?