Шитьё 

Перпендикулярность трех прямых. Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых. Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .


рис. 37 		Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.


рис. 38 		Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей.

Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Замечания.

  1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
  2. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
  3. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."

  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1

  • Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1

  • Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс

    Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1

  • Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс

    Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1

Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.

Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Предварительные сведения о прямых

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины. Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Сама же прямая является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 1).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через 2 произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

  1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
  2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
  3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

Перпендикулярность прямых

Рассмотрим две произвольные пересекающиеся прямые. Очевидно, что в точке их пересечения образовывается 4 угла. Тогда

Определение 1

Пересекающиеся прямые будем называть перпендикулярными, если хотя бы один угол, образованный их пересечением равняется $90^0$ (рис. 2).

Обозначение: $a⊥b$.

Рассмотрим следующую задачу:

Пример 1

Найти углы 1, 2 и 3 из рисунка ниже

Угол 2 является вертикальным для данного нам угла, следовательно

Угол 1 является смежным для угла 2, следовательно

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Угол 3 является вертикальным для угла 1, следовательно

$∠3=∠1=90^0$

Из этой задачи можем сделать следующее замечание

Замечание 1

Все углы между перпендикулярными прямыми равняются $90^0$.

Основная теорема перпендикулярных прямых

Введем следующую теорему:

Теорема 1

Две прямые, являющиеся перпендикулярными для третьей будут непересекающимися.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3 по условию задачи.

Разделим мысленно данный рисунок на две части прямой $(ZP)$. Наложим правую часть на левую. Тогда, так как прямые $(NM)$ и $(XY)$ перпендикулярны к прямой $(PZ)$ и, следовательно, углы между ними прямые, то луч $NP$ наложется целиком на луч $PM$, а луч $XZ$ наложется целиком на луч $YZ$.

Теперь, предположим противное: пусть эти прямые пересекаются. Без ограничения общности предположим, что они пересекаются с левой стороны, то есть, пусть луч $NP$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O$. Тогда, по конструкции, описанной выше, будем получать, что и луч $PM$ пересекается с лучом $YZ$ в точке $O"$. Но тогда мы получаем, что через две точки $O$ и $O"$, проходит две прямые $(NM)$ и $(XY)$, что противоречит аксиоме 3 прямых.

Следовательно, прямые $(NM)$ и $(XY)$ не пересекаются.

Теорема доказана.

Пример задачи

Пример 2

Даны две прямые, которые имеют точку пересечения. Через точку, которая не принадлежит ни одной из них проведены две прямые, одна из которых перпендикулярна одной из выше описанных прямых, а другая - другой из них. Доказать, что они не совпадают.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 4).

Из условия задачи будем иметь, что $m⊥k,n⊥l$.

Предположим противное, пусть прямые $k$ и $l$ совпадают. Пусть это будет прямой $l$. Тогда, по условию $m⊥l$ и $n⊥l$. Следовательно, по теореме 1, прямые $m$ и $n$ не пересекаются. Получили противоречие, а значит прямые $k$ и $l$ не совпадают.























Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель : знать, понимать и уметь применять признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Задачи :

  • повторить определения перпендикулярности прямых, прямой и плоскости.
  • повторить утверждения о перпендикулярности параллельных прямых.
  • ознакомить с признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
  • понимать необходимость применения признака перпендикулярности прямой и плоскости.
  • уметь находить данные позволяющие применять признак перпендикулярности прямой и плоскости.
  • тренировать внимательность, аккуратность, логическое мышление, пространственное воображение.
  • воспитывать чувство ответственности.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

План урока

1. Организационный момент. (сообщить тему, мотивация, сформулировать цель урока)

2. Повторение ранее изученного материала и теорем (актуализация прежних знаний учащихся: формулировки определений и теорем с последующим пояснением или применением на готовом чертеже).

3. Изучение нового материала как усвоение нового знания (формулировка, доказательство).

4. Первичное закрепление (фронтальная работа, самоконтроль).

5. Повторный контроль (работа с последующей взаимопроверкой).

6. Рефлексия.

7. Домашнее задание.

8. Подведение итогов.

Ход урока

1. Организационный момент

Cообщить тему урока (слайд 1): Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Мотивация: на прошлом уроке мы дали определение прямой, перпендикулярной плоскости, но применять его не всегда удобно (слайд 2).

Формулирование цели: знать, понимать и уметь применять признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 3)

2. Повторение раннее изученного материала

Учитель: Давайте вспомним, что мы уже знаем о перпендикулярности в пространстве.

Математический диктант с пошаговой самопроверкой.

Начертите в тетради куб ABCDA’B’C’D’.

Каждое задание предполагает устную формулировку и запись Вашего примера в тетради.

1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

Приведите пример на чертеже куба (слайд 4).

2. Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей.

Докажите, что АА’ перпендикулярна DС (слайд 5).

3. Cформулируйте определение прямой, перпендикулярной плоскости.

Назовите прямую, перпендикулярную плоскости основания куба. (слайд 6)

4. Сформулируйте теоремы устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости. (слайд 7)

5. Решите задачу №1. (слайд 8)

Найдите угол между прямыми FO и АВ, если ABCDA’B’C’D’ - куб, точка О - точка пересечения диагоналей основания, F - середина А’С.

6. Рассмотрение домашней задачи №119(слайд 9) (устно)

Рассмотреть разные варианты решения: через доказательство равенства прямоугольных треугольников и свойство равнобедренного треугольника.

Постановка проблемы

Рассмотреть истинность утверждения:

  • Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
  • Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каким-нибудь параллельным прямым, лежащим в этой плоскости. (слайд 10-11)

3. Изучение нового материала

Ученики предлагают варианты признака.

Формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 12).

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство.

1 этап (слайд 13).

Пусть прямая а пересекает плоскость в точке пересечения прямых p и q. Проведем через точку О прямую, параллельную m и произвольную прямую, так чтобы она пересекала все три прямые в точках P, Q, L.

APQ = BPQ (слайд 14)

APL= BPL (слайд 15)

Медиана LO является высотой (слайд 16)

В силу произвольности выбора прямой m доказано, что прямая а перпендикулярна плоскости

2 этап (слайд 17)

Прямая а пересекает плоскости в точке отличной от точки О.

Проведем прямую a’, такую что a || a’, и проходящую через точку О,

а так как a’ a по ранее доказанному,

то и a a

Теорема доказана

4. Первичное закрепление.

Итак, для того, чтобы утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно какого условия?

Очевидно, что столб перпендикулярен и шпалам и рельсам. (слайд 18)

Решим задачу №128. (слайд 19) (работа по группам, если справляются сами, то доказательство проговаривается устно, для слабых учеников используется подсказка на экране)

5. Повторный контроль.

Установите истинность утверждений (ответ И (истина), Л (ложь).) (слайд 20)

Прямая а проходит через центр круга.

Можно ли утверждать, что прямая а перпендикулярна кругу, если

  • она перпендикулярна диаметру
  • двум радиусам
  • двум диаметрам

6. Рефлексия

Ученики рассказывают основные этапы урока: какая проблема возникла, какое решение (признак) был предложен.

Учитель делает замечание о проверке вертикальности при строительстве (слайд 21).

7. Домашнее задание

П.15-17 №124, 126 (слайд 23)

8. Подведение итогов

  • Какова тема нашего урока?
  • Какова была цель?
  • Цель достигнута?

Приложение

В презентации использованы чертежи, сделанные с помощью программы “Живая математика” представленные в приложении 1 .

Литература

  1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
  2. С.М. Саакян В.Ф. Бутузов Изучение геометрии в 10-11 классах: методические рекомендации к учеб.: кн. для учителя.
  3. Т.В. Валаханович, В.В. Шлыков Дидактические материалы по геометрии: 11 класс: пособие для учителей общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения с 12 летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) Мн.
  4. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/ Сост. В.А. Яровенко.

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .

Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство .

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание .

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .

Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l , параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ , причем ОА = ОВ , то есть точка О - середина отрезка АВ . Проведем прямую PL , .

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р АВ . Точка Р лежит на прямой р . Значит, РА = РВ .

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q - серединный перпендикуляр к отрезку АВ . Точка Q лежит на прямой q . Значит, QА = QВ .

Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.

Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.

Ответ : .

В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .

Решение :

Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ , (см).

Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .